Ce théorème est une conséquence directe du principe fondamental de la mécanique. L’équation locale nous donne :

On peut alors faire le produit scalaire avec le vecteur vitesse :

D’autre part nous avons la relation suivante :

Dans cette expression, le dernier terme représente le produit doublement contracté entre le tenseur contrainte et le tenseur gradient du champ des vitesses. Sous forme développée, on peut, dans une base cartésienne, écrire :

Considérons de manière séparée le dernier terme. On a :

Donc, grâce à la symétrie du tenseur de contrainte, ce terme apparaît comme le produit doublement contracté entre le tenseur contrainte et le tenseur taux de déformation.

On a ainsi :

Soit pour un domaine matériel :

Dans cette expression, le premier membre représente la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique du domaine que l’on suit dans son mouvement. En effet, en utilisant la dérivée particulaire d’une intégrale de volume, nous pouvons écrire :

            Le premier terme du second membre peut encore s’écrire :

Le dernier terme peut être modifié en utilisant le théorème de la divergence :

De plus nous pouvons utiliser l’équation de continuité :

La dérivée de l’énergie cinétique par rapport au temps devient alors :

Ce qui nous donne pour l’équation précédente :

Dans le second membre on peut utiliser le théorème de la divergence :

Ce que nous pouvons écrire, compte tenu de la symétrie du tenseur des contraintes :

Dans le second membre, le premier terme représente la puissance mécanique des efforts surfacique, le second terme représente la puissance mécanique des efforts volumique et le dernier terme représente la puissance mécanique des efforts de cohésion, c’est à dire des efforts intérieurs :

La puissance des efforts intérieurs est parfois appelée puissance de déformation.

On obtient ainsi l’énoncé du Théorème de l’énergie :

La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un domaine D que l’on suit dans son mouvement est égale à la somme de la puissance mécanique des efforts extérieurs et de la puissance mécanique des efforts intérieurs.